Matemáticas: 2010

Variante original del método de resolución Cuando calculamos la raíz cuadrada lo que hacemos es poner el doble de los números que llevamos obtenidos en el renglón de la raíz cuadrada, multiplicarlo por diez, sumar eso al número que calculamos que va a ser la siguiente cifra de la raíz cuadrada y multiplicarlo por esa misma cifra, pudiéndose expresar esto, tomando como ejemplo el primer renglón auxiliar como: L)

$(7 \times 2 \times10 + 6)\times6$

o por ejemplo en el segundo renglón auxiliar sería

$(76 \times 2 \times10 + 3)\times3$

y en el tercero

$(763 \times 2 \times10 + 9)\times9$

esto se puede expresar de manera genérica como:

$(n \times 2 \times10 + m)\times m$

y aquí podemos darnos cuenta de una igualdad interesante que pasa desapercibida que es:

$(n \times 2 \times 10 + m)\times m = 20 \times n \times m + m^2$

con lo que cada renglón auxiliar se puede expresar como:

$20\times7\times6+6^2$ ;

$20\times76\times3+3^2$

$20\times763\times9+9^2$

Esto no podría tener mayor importancia por el hecho de que la fórmula que usamos para su cómputo ordinario es algo más simple, sobre todo teniendo en cuenta que como se averiguan las cifras de la raíz cuadrada de una en una no hace falta si quiera hallarlas como se ha explicado anteriormente, sino que basta con colocar al lado de ese doble la nueva cifra y multiplicarla por esa misma, viendo que si no se extrajesen los números de uno en uno esta simplificación aritmética mental no sería posible. La importancia de esta fórmula residiría en que la usada ordinariamente viene de esa algo más larga, pudiéndose ver en cualquier operación de método de resolución de un algoritmo de raíz de índice n, donde se conserva la segunda estructura más larga aunque siempre más compleja cuando mayor sea el índice de la raíz, siendo inútil en cualquier raíz con un índice superior a 2 esta simplificación ya que al ser la fórmula más larga no produce una simplificación de los mismos efectos, con lo que no contribuye a que sea más fácil la operación, aunque en el cálculo de la raíz cuadra si que simplifica la operación un poco, aunque tampoco tiene demasiada dificultad la segunda fórmula como para no tenerla en cuenta si se quiere calcular la raíz cuadrada de una manera un poco distinta.

Identidad exponencial

Las calculadoras de bolsillo típicamente implementan buenas rutinas para calcular la función exponencialy el logaritmo natural, entonces calculan la raíz cuadrada de

x

utilizando la identidad

$\sqrt{x} = e^{\frac{1}{2}\ln x}$ o $\sqrt{x} = 10^{\frac{1}{2}\log x}$

La misma identidad es usada cuando se calculan las raíces cuadradas con tablas de logaritmos o reglas de cálculo. Se puede representar exponencialmente también como

$\sqrt x = x^{\frac{1}{2}} = x^{0.5}$

Estimación imprecisa

Muchos de los métodos de cálculo para raíces cuadradas requieren un valor inicial. Si el valor inicial está muy lejos de la raíz cuadrada real, el cálculo será muy lento. Por lo tanto es útil tener un cálculo aproximado, que puede ser muy inexacto pero fácil de calcular. Una forma de obtener tal estimación para $\sqrt{x}$ está calculando

3 D

, donde

D

es el número de dígitos (a la izquierda del punto decimal) de

x

. Si

x < 1

D

es el negativo del número de ceros a la derecha inmediata del punto decimal.
Un mejor método de estimación es éste:

Si $D$ es impar ( $D = 2 n + 1$ ), $\sqrt{x} \approx 2 \cdot 10^n$
Si $D$ es par ( $D = 2 n + 2$ ), $\sqrt{x} \approx 6 \cdot 10^n$

Al trabajar en el sistema de numeración binario (como lo hacen las computadoras internamente), un método alternativo es utilizar $2^{\left\lfloor D/2\right\rfloor}$ (aquí D es el número de dígitos binarios).

Matemáticas

domingo, 5 de diciembre de 2010

ejercicios para practicar

raíces cuadradas

Identidad exponencial

Estimación imprecisa

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